1. Cirklens kvadratur – det ældste matematiske problem

1. Cirklens kvadratur – det ældste matematiske problem

Cirklens kvadratur er det ældste matematiske problem, og det som uden sammenligning har beskæftiget flest både professionelle matematikere og amatører. Problemet går i al sin enkelthed ud på følgende:

 

    Givet en cirkel. Konstruer et kvadrat med samme areal som cirklen.

 

 

Øvelse 5.1

Du kan her finde animationen [Cirkler og Kvadrater (html), Cirkler og kvadrater (tns)], der illustrerer, at der må findes et kvadrat med samme areal som en given cirkel: Du starter med et kvadrat, der er tydeligt mindre end cirklen, og idet du langsomt forstørrer kvadratet vil du på et tidspunkt nå til et areal, der er større end cirklens areal. Undervejs i processen må du have passeret den sidelængde, der gav præcis cirklens areal. Kan du ramme den? Hvad bliver din sidelængde?

Kap_5_01

 

 

 

 

 

 

 

Allerede de ægyptiske matematikere var for 4000 år siden optaget af, om man kan finde en simpel formel til beregning af cirklens areal. I C-bogens kapitel 3 fortalte vi om den formel, de fandt frem til.

 

Men hvor de ægyptiske matematikere så det som et praktisk problem at bestemme arealet af en cirkel, var de græske matematikere mere interesserede i det teoretiske spørgsmål, om man kan løse cirklens kvadratur ved konstruktion. Hermed mente de: Kan man alene ved hjælp af passer og lineal konstruere et kvadrat, som har samme areal som en given cirkel?

 

Kravet om, at man alene må bruge passer og lineal ved en geometrisk konstruktion, kan måske virke indskrænkende og lidt vilkårligt; linealen skal oven i købet være uden enheder, så den kun kan bruges til at trække rette linjer. Men der opstod en fælles bestræbelse blandt de græske matematikere om at anvende så få og så simple forudsætninger som overhovedet muligt som grundlag for deres ræsonnementer. Jo færre antagelser og forudsætninger, jo lettere er det at gennemskue, om et ræsonnement holder, eller om der fx er tale om en cirkelslutning, hvor man i sit ræsonnement anvender det, man er i gang med at bevise. Kravet menes først formuleret af en matematiker ved navn Oenipus, engang i 400-tallet fvt. i en lærebog, der er gået tabt. Kravet genfinder vi i de fem forudsætninger Euklid formulerer i begyndelsen af hans Elementer.

 

 
Kap_5_02

Euklids fem forud-

sætninger (aksiomer) i Thyra Eibes danske oversættelse fra 1897.

Øvelse 5.2

Redegør for, hvordan passer og lineal optræder i Euklids fem forudsætninger.

 

 

Græske matematikere havde løst problemet med at kvadrere polygoner, dvs. at finde et kvadrat med samme areal som en given polygon. Du kan her finde en beskrivelse af, hvordan man kan bygge en teori op for beregning af arealet af enhver kantet figur. Skulle man ikke kunne nå frem til cirklens kvadratur ved at fortsætte ad denne vej? Har vi en given cirkel, kan vi jo tegne en sekskant inde i cirklen, dernæst en tolvkant, en 24-kant osv., ved hele tiden at halvere vinklerne.

 

 

Øvelse 5.3

 

a)  

Tegn en cirkel i dit værktøjsprogram, og konstruer selv en regulær ottekant og en regulær sekstenkant.

 

b)

Udnyt dit program til at beregne areal og omkreds af cirklen og af polygonerne.

 

c)

Kan du konstruere en regulær polygon, hvor forskellen i areal er mindre end 0,1% af cirkelarealet?

 

d) Du finder her animationen [Cirkler og polygoner (html), Cirkler og polygoner (tns)], hvor vi lader antallet af kanter i polygonerne vokse.
 

 

Indholdsfortegnelse